Question

16．如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，则二面角A-PB-E的大小为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意可知PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PAB与平面PEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A-PB-E的大小．

解答 解：由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，PD⊥平面ABCD，
可得：PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，
分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AD=AB=2，PD=2EC=2，
∴A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），
$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，0，1）$．
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（1，0，1）$；
设平面PEB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2a+c=0}\end{array}\right.$，取c=2，得$\overrightarrow{n}=（1，1，2）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角A-PB-E的大小为$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，是中档题．