Question

11．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，∠C₁CB=120°．
（1）探究直线BC与直线AB₁的位置关系，并说明理由；
（2）若AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB，求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知△ABC，△CBB₁是正三角形，取BC的中点D，连结B₁D，AD，则BC⊥AD，BC⊥B₁D，于是BC⊥平面AB₁D，从而BC⊥AB₁；
（2）设AB=1，求出AD，B₁D，根据勾股定理的逆定理得出AD⊥B₁D，于是B₁D⊥平面ABC，以D为坐标原点建立空间坐标系，求出平面AB₁C和平面AB₁C₁的法向量，则法向量夹角的余弦值的绝对值为二面角的余弦值．

解答 解：（1）BC⊥AB₁，证明如下：
∵三棱柱的所有棱长都相等，∠C₁CB=120°，
∴△ABC，△CBB₁是正三角形，
取BC的中点D，连结B₁D，AD，
则AD⊥BC，B₁D⊥BC，又AD?平面AB₁D，B₁D?平面AB₁D，AD∩B₁D=D，
∴BC⊥平面AB₁D，又AB₁?平面AB₁D，
∴BC⊥AB₁．
（2）设AB=1，则AD=B₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}AB$=1，
∴AD²+B₁D²=AB₁²，∴AD⊥B₁D，
又B₁D⊥BC，AD?平面ABC，BC?平面ABC，AD∩BC=D，
∴B₁D⊥平面ABC．
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），B₁（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，-$\frac{1}{2}$，0），C₁（0，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），平面AB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}a-b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$．
令z=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），令c=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=2，|$\overrightarrow{{n}_{1}}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{{n}_{2}}$|=$\sqrt{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角C-AB₁-C₁的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．