Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x²-2x
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象的草图，并由图象直接写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）当函数y=f（x）-K恰有4个零点时，直接写出K的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的奇偶性求得当x＜0时函数f（x）的解析式，可得f（x）在R上的解析式．
（2）结合f（x）的解析式，画出f（x）的图象，结合图象可得函数的单调增区间．
（3）函数y=f（x）-K恰有4个零点时，即函数f（x）的图象和直线y=k有4个交点，数形结合可得k的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x²-2x，
则当x＜0时，有-x＞0，f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x=f（x），
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$ 的图象如图所示：
由图象可得函数的单调增区间为[-1，0]、[1，+∞）．
（3）当函数y=f（x）-K恰有4个零点时，即函数f（x）的图象和直线y=k有4个交点，
数形结合可得-1＜k＜0．

点评 本题主要考查求函数的解析式，函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．