Question

14．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，且t∈（0，$\frac{π}{2}$），求t的值；
（2）若锐角△ABC中，角A满足h（A）=1，求（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sinC取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），可得函数h（x）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），再由 h（-$\frac{π}{6}$）=0 可得2t-$\frac{2π}{3}$=0，由此解得t的值．
（2）由h（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=1，可解得A，由A的度数得到B+C的度数，用B表示出C，代入（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=2•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$-$\sqrt{3}$cos2x-1=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-1=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$ ），
∴函数h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），且它的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，且t∈（0，$\frac{π}{2}$），即2t∈（0，π），
∴h（-$\frac{π}{6}$）=0，即 2sin（2t-$\frac{2π}{3}$）=0，
∴2t-$\frac{2π}{3}$=0，解得t=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由已知可得：A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
又∵由（1）可得：h（x）=f（x+t）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴h（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=1，可解得：2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{3π}{4}$-B，
∴（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sinC=（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-B）=（$\sqrt{3}$-1）sinB+cosB+sinB=2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即1＜2sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2，
则sinB+sinC的范围为（1，2]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的对称性，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．