Question

13．已知函数f（x）=ax²-（a²+1）x+a．
（1）若当a＞0时f（x）＜0在x∈（1，2）上恒成立，求a范围
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）当a＞0时，函数f（x）=ax²-（a²+1）x+a的图象开口方向朝上，若f（x）＜0在x∈（1，2）上恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$，解得a的范围；
（2）f（x）=ax²-（a²+1）x+a＞0?（ax-1）（x-a）＞0，对a值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．

解答 解：（1）当a＞0时，函数f（x）=ax²-（a²+1）x+a的图象开口方向朝上，
若f（x）＜0在x∈（1，2）上恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a-（{a}^{2}+1）+a≤0\\ 4a-2（{a}^{2}+1）+a≤0\end{array}\right.$，
解得$a∈（0，\frac{1}{2}]∪[2，+∞）$
（2）f（x）=ax²-（a²+1）x+a＞0?（ax-1）（x-a）＞0，
当a=0时，得到x＜0，
当a＞0时，化为$（x-\frac{1}{a}）（x-a）＞0$，
当a＞1时，得到$x＜\frac{1}{a}$或x＞a，
当a=1时，得到x≠1，
当0＜a＜1时，得到x＜a或$x＞\frac{1}{a}$，
当a＜0时，化为$（x-\frac{1}{a}）（x-a）＜0$，
当-1＜a＜0时，得到$\frac{1}{a}＜x＜a$
当a=-1时，得到x∈ϕ，
当a＜-1时，得到$a＜x＜\frac{1}{a}$，
综上所述，a＜-1时，原不等式的解集为：（a，$\frac{1}{a}$）
a=-1时，原不等式的解集为：∅，
-1＜a＜0时，原不等式的解集为：（$\frac{1}{a}$，a），
a=0时，原不等式的解集为：（-∞，0）
0＜a＜1时，原不等式的解集为：（-∞，a）∪（$\frac{1}{a}$，+∞），
a＞1原不等式的解集为：（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（a，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．