题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若
满足
为
上奇函数且
为上偶函数，求
的值；
（2）若函数
满足
对
恒成立，函数
，求证：函数
是周期函数，并写出的一个正周期；
（3）对于函数，
，若
对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 
是其一个广义周期，若二次函数
的广义周期为（
不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的
，
，
成立的充要条件是
.
【答案】（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据奇偶函数得到关于
等式，对等式进行变形可得到的周期，再采用赋值的方法计算出
的值；
（2）讨论
与
的关系，然后根据与周期的公倍数可求得
的一个正周期；
（3）从充分性和必要性两个方面分别证明.
（1）因为
满足
为
上奇函数，所以
，所以
，
又因为满足
为上偶函数，所以
，所以
，
所以有
，所以
，所以
，
所以
，所以的一个周期为
，
又因为
，所以
，又因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
；
（2）因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以是周期函数，一个正周期为
；
（3）充分性：当
时，
，
此时
，所以充分性满足；
必要性：因为二次函数
的广义周期为
，
所以
，所以
，
所以
，又因为
不恒成立，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
，
由
可知：
，即，所以必要性满足.
所以：对任意的
，，
成立的充要条件是.
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