Question

【题目】已知抛物线（），点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是到距离的3倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.

（1）求抛物线的方程和的坐标；

（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；

（3）椭圆的两焦点为、，在椭圆外的抛物线上取一点，若、的斜率分别为、，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），（2），详见解析（3）

【解析】

（1）由题意得出，以及，可求出的值，从而得出抛物线的方程以及焦点的坐标；

（2）设点、，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，并求出、两点的坐标，在时，由与同时与轴垂直得出，在时，由得出，即可解答该问题；

（3）设点，得出，由点在抛物线上且在椭圆外得出，由函数在上单调递增，可得出的取值范围.

（1）由于点在抛物线的焦点的右侧，所以，，

由于到的准线的距离是到距离的倍，即，解得，

因此，抛物线的方程为，其焦点的坐标为；

（2），理由如下：

设， ，联立，

得，，

；，令得，

，令得，

当时，直线斜率不存在，

此时，，直线斜率也不存在；

当时，，则；

（3）设点，则，

因为点在椭圆外，所以，

即，即，，解得，

由于函数在上单调递增，则，

.