Question

正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值为                  .

Answer 1

1．

试题分析：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点

设正四面体ABCD棱长为1，得等边△ABC中，BN=，BC=
∵AO⊥平面BCD，∴O为等边△ABC的中心，得BO=，BN=，
Rt△ABO中，AO==
设MO=x，则Rt△BOM中，BM==
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=BC，即=，解之得x=
由此可得AM=AO-MO=，所以MO=AM=，从而=1.
点评：中档题，本题充分借助于正四面体的几何性质，通过发现等腰三角形，灵活利用勾股定理，达到解题目的。本题解法充分体现了立体几何问题转化成平面几何问题的基本思路。