Question

(本题满分15分) 如图，四边形中，为正三角形，，，与交于点．将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为，且点在平面内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

Answer 1

（Ⅰ）只需证、即可；（Ⅱ）。

试题分析：(Ⅰ)易知为的中点，
则，又，
又，平面，
所以平面   （5分）
(Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于
平面向上的直线为轴建立如图所示空间
直角坐标系，则,       （7分）
易知平面的法向量为 （8分）
，设平面的法向量为
则由得，
解得，，令，则 （11分）
则
解得，，即，即，
又，∴   故.（15分）   
点评：用综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。