Question

已知函数，，且在点处的切线方程为．

(Ⅰ）求的值；

(Ⅱ）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；  

(Ⅲ）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为．若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ），∴，又，

∴．              ………………3分

(Ⅱ）；

∴

由得，

∴或．       …………………………………5分

∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点．    ………………………6分

若，即，当时；当时，函数有极大值点，

若，即时，当时；当时，函数有极大值点，

综上，的取值范围是．……………8分

 (Ⅲ）当时，设两切线的倾斜角分别为，

则，

∵， ∴均为锐角，        ………………………9分

当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则；当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则．

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，

直线能与轴围成一个等腰三角形．……11分

由得， ，

得，即，

     设，，

当时，，∴在单调递增，

则在单调递增，由于，且，

所以，则，

即方程在有唯一解，

直线能与轴围成一个等腰三角形．  

因此，当时，有两处符合题意，所以直线能与轴围成等腰三角形时，值的个数有2个．    ……………………14分