Question

已知三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，PA=AC=BC=1，D是线段PC的中点，如图所示．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）只要证明AD由于面PBC内的PC，BC垂直即可；
（Ⅱ）利用∴D到面PAB的距离等于C到面PAB的距离的一半，将三棱锥P-ABD的体积利用三棱锥C-PAB的体积的一半表示．

解答： 证明：（Ⅰ）∵PA=AC，D是线段PC的中点，
∴AD⊥PC，
∵BC⊥AC，BC⊥PA，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥AD，
∴AD⊥面PBC；
（Ⅱ）∵点D是PC的中点，
∴D到面PAB的距离等于C到面PAB的距离的一半，
∴VP-ABD=VD-PAB=

1

2

VC-PAB，
又VC-PAB=VP-ABC=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

×

1

2

AC×BC=

1

2

PA×

1

3

=

1

6

，
∴VP-ABD=

1

12

．

点评：本题考查了线面垂直的判定 以及三棱锥体积的求法，注意将体积转化，使计算简便．