Question

对任意n∈N^*，3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹都能被14整除，则最小的自然数a=    ．

Answer 1

【答案】分析：3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹ 即 •14²ⁿ⁺¹•5+•14²ⁿ•5+•14^2n-1•5²+…+•14•5²ⁿ+•14•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹，除了最后两项外，其余的
项都能被14整除，故最小的自然数a满足 •14•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=0，由此求得a的值．
解答：解：3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹=9²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=（14-5）²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹
=•14²ⁿ⁺¹•5+•14²ⁿ•5+•14^2n-1•5²+…+•14•5²ⁿ+•14•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹，
除了最后两项外，其余的项都能被14整除，故最小的自然数a满足 •14•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=0，
求得a=5，
故答案为 5．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．