Question

已知函数f（x）对任意实数p、q都满足f（p+q）=f（p）•f（q），且f(1)=

1

3

．
（1）当n∈N₊时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)

&(n∈N+

，求证：

n

k=1

ak＜

3

4

；
（3）设bn=

nf(n+1)

f(n)

&(n∈N+)， Sn= n k=1 bk

，试比较

n

k=1

1

Sk

与6的大小．

Answer 1

分析：（1）由题设知：f(n)=f(n-1)•f(1)=

1

3

•f(n-1)=(

1

3

)2•f(n-2)=…=(

1

3

)n-1•f(1)=(

1

3

)n．　　　
（2）由（1）可　知　an=n•(

1

3

)n，设T_n=

n

k=1

ak则Tn=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n．利用错位相减法能证明

n

k=1

ak＜

3

4

．
（3）由（1）可知b_n=

1

3

n，故Sn=

n

k=1

bk=

1

3

(1+2+…+n)=

n(n+1)

6

，所以

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，由此能够证明

n

k=1

ak＜

3

4

．

解答：（1）解：∵函数f（x）对任意实数p、q都满足f（p+q）=f（p）•f（q），且f(1)=

1

3

，
∴f(n)=f(n-1)•f(1)=

1

3

•f(n-1)=(

1

3

)2•f(n-2)=…=(

1

3

)n-1•f(1)=(

1

3

)n．　　　
（2）证明：由（1）可　知　an=n•(

1

3

)n，
设T_n=

n

k=1

ak
则Tn=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n．
∴

1

3

Tn=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1．
两式相减得

2

3

Tn=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1
=

1

2

[1-(

1

3

)n]-n•(

1

3

)n+1，
∴T_n=

n

k=1

ak=

3

4

-

1

4

(

1

3

)n-1-

n

2

•(

1

3

)n＜

3

4

．     
（3）解：由（1）可知b_n=

1

3

n，
∴Sn=

n

k=1

bk=

1

3

(1+2+…+n)=

n(n+1)

6

，
则

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，
故有

n

k=1

1

Sk

=6(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=6(1-

1

n+1

)＜6．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查f（n）的表达式的求法，求证：

n

k=1

ak＜

3

4

，试比较

n

k=1

1

Sk

与6的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法和裂项求和法的灵活运用．