Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m（m∈R且0＜m＜1），存在x₀∈[0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），则称f（x）具有性质P（m）．
（Ⅰ）已知函数f（x）=（x-

1

2

）²，x∈[0，1]，判断f（x）是否具有性质P（

1

3

），并说明理由；
（Ⅱ）已知函数 f（x）=

-4x+1，0≤x≤ 1 4 4x-1， 1 4 ＜x＜ 3 4 -4x+5， 3 4 ≤x≤1

，若f（x）具有性质P（m），求m的最大值；
（Ⅲ）若函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（x）的图象连续不间断，又满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N^*且k≥2，函数f（x）具有性质P（

1

k

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x₀）=f（x₀+

1

3

），求出x₀，根据定义，即可得出结论；
（Ⅱ）m的最大值为

1

2

．分类进行证明，当m=

1

2

时，函数f（x）具有性质P（

1

2

）；假设存在

1

2

＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1-m＜

1

2

，证明不存在x₀∈（0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m）即可；
（Ⅲ）任取k∈N^*且k≥2，设g（x）=f（x+

1

k

）-f（x），其中x∈[0，

k-1

k

]，利用叠加法可得g（0）+g（

1

k

）+…+g（

t

k

）+…+g（

k-1

k

）=f（1）-f（0）=0，分类讨论：当g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）中有一个为0时，函数f（x）具有性质P（

1

k

）；当g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，进而可证函数f（x）具有性质P（

1

k

）．

解答：（Ⅰ）解：设x0∈[0，1-

1

3

]，即x0∈[0，

2

3

]
令f（x₀）=f（x₀+

1

3

），则(x0-

1

2

)2=(x0+

1

3

-

1

2

)2，解得x₀=

1

3

∈[0，

2

3

]，
所以函数f（x）具有性质P（

1

3

）；                               …（3分）
（Ⅱ）解：m的最大值为

1

2

．
首先当m=

1

2

时，取x₀=

1

2

，则f（x₀）=f（

1

2

）=1，f（x₀+m）=f（

1

2

+

1

2

）=f（1）=1
所以函数f（x）具有性质P（

1

2

）                                …（5分）
假设存在

1

2

＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1-m＜

1

2

．
当x₀=0时，x₀+m∈(

1

2

，1)，f（x₀）=1，f（x₀+m）＞1，f（x₀）≠f（x₀+m）；
当x₀∈（0，1-m]时，x₀+m∈（

1

2

，1]，f（x₀）＜1，f（x₀+m）≥1，f（x₀）≠f（x₀+m）；
所以不存在x₀∈（0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），
所以，m的最大值为

1

2

．                                        …（7分）
（Ⅲ）证明：任取k∈N^*且k≥2
设g（x）=f（x+

1

k

）-f（x），其中x∈[0，

k-1

k

]，则有g（0）=f（

1

k

）-f（0）
g（

1

k

）=f（

2

k

）-f（

1

k

）
…
g（

t

k

）=f（

t

k

+

1

k

）-f（

t

k

）
…
g（

k-1

k

）=f（1）-f（

k-1

k

）
以上各式相加得：g（0）+g（

1

k

）+…+g（

t

k

）+…+g（

k-1

k

）=f（1）-f（0）=0
当g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）中有一个为0时，不妨设为g（

i

k

）=0，i∈{0，1，…，k-1}，
即g（

i

k

）=f（

i

k

+

1

k

）-f（

i

k

）=0，则函数f（x）具有性质P（

1

k

）；
当g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，
不妨设g（

i

k

）＞0，g（

j

k

）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k-1}，
由于g（x）是连续的，所以当j＞i时，至少存在一个x0∈(

i

k

，

j

k

)（当j＜i时，至少存在一个x0∈(

i

k

，

j

k

)）
使得g（x₀）=0，
即g（x₀）=f（x0+

1

k

）-f（x₀）=0
所以，函数f（x）具有性质P（

1

k

）                     …（10分）

点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．