Question

如图，四边形BCDE是直角梯形，CD∥BE，CD丄BC，CD=

1

2

BE=2，平面BCDE丄平面ABC；又已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，M，F分别为BC，AE的中点．
（1）求直线CD与平面DFM所成角的正弦值；
（2）能否在线段EM上找到一点G，使得FG丄平面BCDE？若能，请指出G的位置，
并加以证明；若不能，请说明理由；
（3）求三棱锥F-DME的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明EB⊥平面ABC，以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，求出平面DFM的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线CD与平面DFM所成角的正弦值；
（2）设存在点G满足题设，且

EG

=λ

EM

=（0≤λ≤1）．利用

FG

•

EM

=16λ-8=0，得λ=

1

2

．即可得出结论；
（3）求出S_△DME=6

2

，由（2）知，FG为三棱锥的高，FG=

2

，即可求三棱锥F-DME的体积．

解答： 解：由题意，CD⊥BC．四边形BCDE是直角梯形，EB⊥BC．
又平面BCDE⊥平面ABC，∴EB⊥平面ABC．
于是以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
则B（0，0，0），C（4，4，0），A（0，4，0），D（4，4，2），E（0，0，4），F（0，2，2），M（2，2，0
（1）

CD

=（0，0，2）．
设

m

=（x，y，z）为平面DFM的法向量．
得

2x+2y+2z=0 -2x+2z=0

，令x=1，得

m

=（1，-2，1）．
于是sinθ=

6

6

；
（2）证明：设存在点G满足题设，且

EG

=λ

EM

=（0≤λ≤1）．
则G（2λ，2λ，4-4λ），

FG

=（2λ，2λ-2，2-4λ）．
由

FG

•

EM

=16λ-8=0，得λ=

1

2

．经检验

FG

•

ED

=0．
故当G为EM的中点时，FG⊥平面BCDE．
（3）∵BE∥CD，CD⊥BC，且四边形BCDE是直角梯形，
∴S_△BME=

1

2

×4×2

2

=4

2

，S_△DCM=2

2

，
∵梯形BCDE的面积为

1

2

×(4+2)×4

2

=12

2

，
∴S_△DME=6

2

，
由（2）知，FG为三棱锥的高，FG=

2

，
∴三棱锥F-DME的体积为

1

3

×6

2

×

2

=4．

点评：本题考查求三棱锥F-DME的体积，考查空间角，正确运用空间向量是关键．