Question

【题目】在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；

（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.

以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

（1）证明：取中点，连接，

因为四边形为菱形且.

所以，

因为，所以，

又，

所以平面，因为平面，

所以.

同理可证，

因为，

所以平面.

（2）解：由（1）得平面，

所以平面平面，平面平面.

所以点到直线的距离即为点到平面的距离.

过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，

因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.

以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.

则

所以

平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则即

取，则，

，

所以，

所以面与面所成二面角的正弦值为.