Question

【题目】已知为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，，，__________.在①；②；③这三个条件中任选其中一个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

Answer 1

【答案】（1）选①：，；选②：，；选③：，；（2）选①：；选②：；选③：

【解析】

（1）根据所选条件，建立方程组，求解基本量，进而可得通项公式；

（2）根据通项公式的特点，选择错位相减法进行求和.

选①解：

（1）设等差数列的公差为，

∵，∴，∴，，

∴，

由，

当时，有，则有，即

当时，，

即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列.

∴.

（2）由（1）知，

∴，①

，②

①-②得：，

∴.

选②解：

（1）设等差数列的公差为，

∵，∴，∴，

∴，

∴，

设等比数列的公比为，

∵，

∴，

又∵，∴，解得，或（舍），

∴.

（2）由（1）可知，

∴，

，②

①-②得：，

∴.

选③解：

（1）设等差数列的公差为，

∵，∴，∴，，

∴，

∵，，

令，得，即，∴，∴，

∴；

（2）解法同选②的第（2）问解法相同.