Question

△ABC的外接圆的半径为1，且2B=A+C，求此三角形面积的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：2B=A+C，A+B+C=π，可得B=

π

3

．由正弦定理可得

b

sin π 3

=2，可得b=

3

．由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos

π

3

，再利用基本不等式的性质可得ac的范围，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：∵2B=A+C，A+B+C=π，
∴B=

π

3

．
由正弦定理可得

b

sin π 3

=2，∴b=

3

．
由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos

π

3

，
∴3=a²+c²-ac≥ac，当且仅当a=c=

3

时取等号．
∴S_△ABC=

1

2

acsin

π

3

=

3

4

ac≤

3 3

4

．
∴此三角形面积的取值范围为(0，

3 3

4

]．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．