题目内容
如图，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，则求：tan∠APB．
考点：与圆有关的比例线段
专题：推理和证明
分析：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=
r．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=
FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
解答：
解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=
r．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴
=
=
=
，
∴AF=
FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2-PB2=FB2
∴（PA+AF）2-PB2=FB2
∴（
r+
BF）2-（
）2=BF2，
解得BF=
r，
∴tan∠APB=
=
=
．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=
| 3 |
| 2 |
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
|
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴
| AF |
| FB |
| AO |
| BP |
| r | ||
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| 3 |
∴AF=
| 2 |
| 3 |
在Rt△FBP中，
∵PF2-PB2=FB2
∴（PA+AF）2-PB2=FB2
∴（
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
解得BF=
| 18 |
| 5 |
∴tan∠APB=
| BF |
| PB |
| ||
|
| 12 |
| 5 |
点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
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| A、[-1，0] |
| B、[0，1] |
| C、[1，2] |
| D、[2，3] |