Question

19．已知点A（3，4）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，则当椭圆的中心到直线x=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$的距离最小时，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 把点的坐标代入椭圆方程，用a表示b，代入$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$，平方后换元，利用基本不等式求最值，得到等号成立的条件，求出a²，进一步得到c²，则椭圆的离心率可求．

解答 解：∵点A（3，4）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{16}{{b}^{2}}=1$，
则$\frac{16}{{b}^{2}}=1-\frac{9}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-9}{{a}^{2}}$，即${b}^{2}=\frac{16{a}^{2}}{{a}^{2}-9}$．
∴${a}^{2}-{b}^{2}={a}^{2}-\frac{16{a}^{2}}{{a}^{2}-9}=\frac{{a}^{4}-25{a}^{2}}{{a}^{2}-9}$．
则椭圆的中心到直线x=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$的距离为d=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$．
则${d}^{2}=\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{4}}{\frac{{a}^{4}-25{a}^{2}}{{a}^{2}-9}}$=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-9）}{{a}^{2}-25}$．
令a²=t（t＞25）．
∴${d}^{2}=\frac{t（t-9）}{t-25}=\frac{（t-25）^{2}+41（t-25）+400}{t-25}$=$（t-25）+\frac{400}{t-25}+41$$≥2\sqrt{（t-25）•\frac{400}{t-25}}+41$．
当且仅当t-25=$\frac{400}{t-25}$，即t=45时上式取等号，
∴a²=45，则b²=20，c²=a²-b²=25．
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$．
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用换元法和基本不等式求函数的最值，考查计算能力，是中档题．