Question

在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴为始边，若终边经过点P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0）．定义：sicosθ=

y0-x0

r

，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下结论：
①该函数的值域为[-

2

，

2

]；
②该函数图象关于原点对称；
③该函数图象关于直线x=

3π

4

对称；
④该函数的单调递增区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，（k∈z）．
则这些结论中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：①由三角函数的定义可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
∴sicosθ=

y0-x0

r

=

rsinx-rcosx

r

=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
∴函数的值域为[-

2

，

2

]，∴①正确．
②∵y=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
∴f（0）=

2

sin

π

4

=1≠0，∴函数关于原点对称错误，∴②错误．
③当x=

3π

4

时，f（

3π

4

）=

2

，∴图象关于直线x=

3π

4

对称，∴③正确．
④∵y=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
∴由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，
即函数的单调递减区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z
∴④正确，
故正确的是①③④，
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数的定义求出函数y=sicosθ的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．