Question

11．命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅；
命题q：函数y=（2a²-a）^x增函数．若p∨q是真命题p∧q是假命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，由△＜0，解得a范围．命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数．可得2a²-a＞1，解得a范围．由p∨q是真命题p∧q是假命题．可得p与q必然是一真一假．

解答 解：命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，由△=（a-1）²-4a²＜0，解得$a＞\frac{1}{3}$或a＜-1．
命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数．∴2a²-a＞1，解得a＞1或a$＜-\frac{1}{2}$．
∵p∨q是真命题p∧q是假命题．∴p与q必然是一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{3}或a＜-1}\\{-\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a＞1或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}＜a≤1$或$-1≤a＜-\frac{1}{2}$．
实数a的取值范围是$\frac{1}{3}＜a≤1$或$-1≤a＜-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了不等式的解集与判别式的关系、函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．