Question

17．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{12}=1（{a＞0}）$，以原点为圆心，双曲线的实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形的ABCD的面积为$2\sqrt{3}a$，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$或$2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 设A位于第一象限，根据双曲线的渐近线方程，即可求得A点坐标，根据四边形的面积公式，即可求得a的值．

解答 解：根据对称性，不妨设A在第一象限，A（x，y），双曲线的渐近线方程y=±$\frac{2\sqrt{3}}{a}$x，
由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2\sqrt{3}}{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+12}}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{{a}^{2}+12}}}\end{array}\right.$，
由四边形的ABCD的面积为S=4xy=$2\sqrt{3}a$，
则4×$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+12}}$×$\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{{a}^{2}+12}}$=$2\sqrt{3}a$，
解得：a=2，
∴a的值为2，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．