Question

16．如图，AB是圆的直径，C是圆上的点，且PA⊥BC．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若D是PA中点，O、M分别是AB、AC中点，点E在线段OM上，求证：DE∥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）由BC⊥AC，BC⊥PA可得BC⊥平面PAC，故而平面PAC⊥平面PBC；
（II）由中位线定理可得平面DMO∥平面PBC，故而DE∥平面PBC．

解答 证明：（I）∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，
又∵BC⊥PA，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（II）∵D是PA中点，O、M分别是AB、AC中点，
∴DM∥PC，OM∥BC，
∵DM∩OM=M，PC∩BC=C，DM?平面DMO，OM?平面DMO，PC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴平面DMO∥平面PBC，
∵DE?平面DMO，
∴DE∥平面PBC．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，面面平行的性质，属于中档题，