Question

14．已知$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且tanα=-3．
（1）求$sin（\frac{π}{4}+α）$的值；
（2）求$cos（\frac{2π}{3}-2α）$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
（2）利用二倍角公式可求sin2α，cos2α的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）因为$α∈（\frac{π}{2}，π）$，tanα=-3，
可得$sinα=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，$cosα=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
可得：$sin（\frac{π}{4}+α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（sinα+cosα）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}-\frac{{\sqrt{10}}}{10}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（2）sin2α=2sinαcosα=-$\frac{3}{5}$，cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{4}{5}$，
可得：$cos（\frac{2π}{3}-2α）$=cos$\frac{2π}{3}$cos2α+sin$\frac{2π}{3}$sin2α=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．