Question

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x 轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
（2）根据两点之间线段最短可得到周长最短的情况，再根据已知两点求得直线解析式，即可求得所求点的坐标．
（3）根据三角形的面积计算方法可以将三角形切割为两个便于计算的小三角形，再求每个三角形的底和高，即可表示出三角形的面积，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的点的坐标．

解答 解：（1）因为抛物线在x轴上的交点为B（1，0），和C（5，0），设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
由抛物线过A（0，4），
∴a（0-1）（0-5）=4，
∴a=$\frac{4}{5}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{4}{5}$（x-1）（x-5），即y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4，
对称轴为直线x=$\frac{1+5}{2}$=3，
（2）存在．如图所示，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB，
∵B，C关于对称轴对称，
AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，
此时△PAB的周长最小，设直线AC方程为y=mx+n，将A（0，4），B（1，0），
代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4=n}\\{0=5m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，即y=-$\frac{4}{5}$x+4，
当x=3时，y=-$\frac{4}{5}$×3+4=$\frac{8}{5}$，
∴P点坐标为（3，$\frac{8}{5}$）；
（3）存在．设N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4）（0＜t＜5），如图所示，过N作NF∥OA，分别交x轴和AC于F，G，
过A作AD⊥FG的延长线于点D，连接CN，
根据（2）的AC解析式y=-$\frac{4}{5}$x+4，可得G（t，-$\frac{4}{5}$t+4），
∴NG=-$\frac{4}{5}$t+4-（$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4）=-$\frac{4}{5}$t²+4t，
∵S_△ANC=S_△AGN+S_△CGN，S_△AGN=$\frac{1}{2}$GN×AD，S_△CGN=$\frac{1}{2}$CF×GN，
∴S_△ANC=$\frac{1}{2}$GN×（AD+FC）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时△NAC的面积最大，最大值为$\frac{25}{2}$，
此时$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$+4=$\frac{4}{5}$×（$\frac{5}{2}$）²-$\frac{24}{5}$×$\frac{5}{2}$+4=-3，
∴此时N的坐标为（$\frac{5}{2}$，-3）．

点评 本题考查一元二次函数解析式的求法，一元二次函数图象与性质，考查三角形的面积公式，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．