Question

下列说法正确的是

 

①用最小二乘法求的线性回归直线

∧

y

=bx+a必过点（

.

x

，

.

y

）
②一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，现从中任取2件，则其中出现次品的概率为

C 1 5 C 1 49

C 2 50

③两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率为P₁，乙解决这个问题的概率为P₂，两人同时解决的概率为P₃，则这个问题得到解决的概率等于P₁+P₂-P₃，也等于1-（1-P₁）（1-P₂）
④已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=0.16
⑤对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面的充要条件是x+y+z=1．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,最小二乘法,正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

专题：常规题型,概率与统计

分析：①回归直线过样本点的中心，②用古典概型概率公式概率；③独立事件的同时发生的概率为它们的概率之积，对立事件概率之和为1；④利用正态分布及概率性质得答案；⑤要分充分性与必要性证明．

解答： 解：回归直线过样本点的中心，故①正确；
一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，现从中任取2件，则其中出现次品的概率为

C 1 5 C 1 49

C 2 50

+

c 2 5

c 2 50

；故②不正确；
独立事件的同时发生的概率为它们的概率之积，两人都解决不了的概率为（1-P₁）•（1-P₂），则这个问题得到解决的概率也等于1-（1-P₁）（1-P₂），故③正确；
P（ξ＞=4）=1-0.84=0.16，图象对称轴为x=2，则P（ξ＜=0）=P（ξ＞=4）=0.16，故④正确，
“充分性”
由x+y+z=1，则z=1-x-y，则

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

=x

OA

+y

OB

+（1-x-y）

OC

=x（

OA

-

OC

）+y（

OB

-

OC

）+

OC

；
即

OP

-

OC

=x（

OA

-

OC

）+y（

OB

-

OC

）；
即

CP

=x

CA

+y

CB

；
则P、A、B、C四点共面；
“必要性”
∵则P、A、B、C四点共面，
∴存在x，y，使

CP

=x

CA

+y

CB

；
即

OP

-

OC

=x（

OA

-

OC

）+y（

OB

-

OC

）；
即

OP

=x（

OA

-

OC

）+y（

OB

-

OC

）+

OC

=x

OA

+y

OB

+（1-x-y）

OC

=x

OA

+y

OB

+z

OC

；
则1-x-y=z，
即x+y+z=1．
故⑤正确．
故答案为①③④⑤．

点评：本题考查了回归直线，概率，正态分布及向量等，考查内容很全面，属于中档题．