Question

设a∈R,f(x)=是奇函数，

（1）求a的值;

(2)如果g(n)=(n∈N₊)，试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N₊).

Answer 1

思路解析：∵(1)f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)=0,故a=1.

(2)f(n)-g(n)=.

只要比较2ⁿ与2n+1的大小.

当n=1,2时，f(n)＜g(n);当n≥3时,2ⁿ＞2n+1,f(n)＞g(n).

下面证明，n≥3时，2ⁿ＞2n+1，即f(x)＞g(x).

①n=3时，2³＞2×3+1,显然成立，

②假设n=k(k≥3,k∈N)时，2^k＞2k+1,那么n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2(2k+1).

2(2k+1)-［2(k+1)+1］=4k+2-2k-3=2k-1＞0(∵k≥3),

有2^k+1＞2(k+1)+1.

∴n=k+1时，不等式也成立，由①②可以断定,n≥3,n∈N时,2ⁿ＞2n+1.

结论:n=1,2时,f(n)＜g(n);当n≥3,n∈N时,f(n)＞g(n).