Question

设a∈R，函数 f （x）=x²+2a|x-1|，x∈R．
（1）讨论函数f （x）的奇偶性；
（2）求函数f （x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）第一问考查函数的奇偶性，当a=0时，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得函数是偶函数；当a≠0时，用特殊值法判断函数不是奇函数又不是偶函数；
（2）第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值：分别求出分段函数的对称轴，再利用对a进行分类讨论：a≥1时； a＜1时，通过函数的单调性，求出函数的最小值．

解答：解：∵f （x）=x²+2 a|x-1|，x∈R．
（1）当a=0时，f （x）=x²，函数是偶函数；当a≠0时函数非奇非偶函数．…（2分）
因为f（1）=1，f（-1）=1+4a≠f（1），即a≠0时函数不是偶函数；…（3分）
当a≠-

1

2

时f（-1）=1+4a≠-f（1），函数不是奇函数；当a=-

1

2

时，
f（x）=x²-|x-1|，f（2）=3，f（-2）=1，f（-2）≠-f（2），所以函数不是奇函数．…（5分）
综上，当a=0时，f （x）=x²，函数是偶函数；当a≠0时函数非奇非偶函数．
（2）f （x）=

x2+2ax-2a x2-2ax+2a

=

(x+a)2-a2-2a，x≥1 (x-a)2-a2 +2a，x＜1

…（7分）
1° a≥1时，x≥1时，f （x）≥x²≥1=f （1）⇒f （x）_min=1…（8分）
x＜1时，对称轴 x=a＞1⇒f （x） 在 （-∞，1）上为减函数⇒f （x）＞f （1）=1
综上，a≥1时，f （x）_min=1…（10分）
2° a＜1时，若 x＜1，f （x）_min=f （a）=-a²+2a=2a-a²…（11分）
而 x≥1时，f （x）_min≥-a²-2a＞-a²＞2a-a²…（12分）
∴a＜1时，f （x）_min=2a-a²
∴f （x）_min=

1，a≥0 2a-a2，a＜0

…（13分）．

点评：本小题主要考查带绝对值的函数、二次函数的性质、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，考查二次函数的最值的求法，考查分类讨论思想，计算能力．本题是中档题，