Question

已知函数f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）；
（Ⅲ）设n∈Nⁿ，证明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值．
（Ⅱ）将方程转化为lg（x-1）+2lg

4-x

=2lg

a-x

，利用对数的运算法则，注意到真数大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=

1

+

2

+…+

n

故原不等式转化为f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

≥

1

+

2

+…+

n

注意到等式右侧为数列{b_n}：b_n=

n

和的形式，将等式的左侧也看作一个数列的前n项和的形式，
求出通项．问题转化为证明项＞项的问题．可用做差法直接求解．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0）
所以F′（x）=-3x²+12=0，x=±2
且x∈（0，2）时，F′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0
所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=-8+24+9=25
（Ⅱ）原方程变形为lg（x-1）+2lg

4-x

=2lg

a-x

?

x＞1 4-x＞0 a-x＞0 (x-1)(4-x)=a-x

?

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

（1）当1＜a＜4时，原方程有一解x=3-

a-5

（2）当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±

a-5

（3）当a=5时，原方程有一解x=3
（4）当a≤1或a＞5时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=

1

+

2

+…+

n

f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

从而a₁=s₁=1
当k≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

又an-

k

=

1

6

[(4k-3)

k

-(4k-1)

k-1

]
=

1

6

(4k-3)2-(4k-1)2(k-1)

(4k-3) k +(4k-1) k-1

=

1

6

1

(4k-3) k +(4k-1) k-1

＞0
即对任意的k≥2，有an＞

k

又因为a₁=1=

1

所以a₁+a₂+…+a_n≥

1

+

2

+…+

n

则s_n≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．

点评：本题考查求函数的单调区间、极值、方程解的个数问题、不等式证明问题，综合性强，难度较大．