Question

5．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C且sinA：sinB：sinC=2：3：4．若△ABC的面积为12$\sqrt{15}$，则△ABC的外接圆的半径R=$\frac{32\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 根据题意，可以设a=2t，b=3t，c=4t，由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{4}$，进而可得sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由正弦定理可得关系式$\frac{1}{2}$absinC=12$\sqrt{15}$，代入数据解可得t=4，可得c的值，由正弦定理2R=$\frac{c}{sinC}$可得R的值．

解答 解：根据题意，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，而sinA：sinB：sinC=2：3：4，
可以设a=2t，b=3t，c=4t，
则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{4}$，则sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又由△ABC的面积为12$\sqrt{15}$，
则有$\frac{1}{2}$absinC=12$\sqrt{15}$，即$\frac{1}{2}$×2t×3t×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=12$\sqrt{15}$，
解可得t=4，
则c=4t=16；
又由2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{16}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$，解可得R=$\frac{32\sqrt{15}}{15}$；
故答案为：$\frac{32\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，解题的关键是依据题意结合正弦定理找到三边与外接圆的半径R的关系．