Question

5．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{{∫}_{x}^{0}（2t+2-{e}^{t}）dt，x≤0}\end{array}\right.$，则函数h（x）=f（x）+1有2个零点．

Answer 1

分析 根据已知中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{{∫}_{x}^{0}（2t+2-{e}^{t}）dt，x≤0}\end{array}\right.$，分析出两段上函数h（x）=f（x）+1零点的个数，综合可得答案．

解答 解：当x＞0时，令h（x）=f（x）+1=lnx+1=0，解得：x=$\frac{1}{e}$，
当x≤0时，h（x）=f（x）+1=${∫}_{x}^{0}（2t+2-{e}^{t}）dt$+1=${{（t}^{2}+2t-{e}^{t}）|}_{x}^{0}$+1=e^x-x²-2x，
令g（x）=e^x-x²-2x，x≤0，
则g′（x）=e^x-2x-2，
∵g′（x）＞0在x≤0时恒成立，
故g（x）为增函数，
又由g（0）=1，$\lim_{x→-∞}g（x）=-∞$得，此时函数也有一个零点，
综上可得：函数h（x）=f（x）+1有2个零点．
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，积分运算，难度中档．