Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₉=99．
（Ⅰ）求a_n 及S_n；
（Ⅱ）若数列{$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$}的前n项和T_n，试求T_n并证明不等式T_n＜1成立．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”可得T_n，即可证明．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，∵a₂=5，S₉=99，
∴$99=\frac{{9×（{{a_1}+{a_9}}）}}{2}=9{a_5}$，得a₅=11，
∴3d=a₅-a₂=6，
∴d=2，a₁=3，
∴a_n=2n+1，
${S_n}=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}=\frac{{n（{2n+4}）}}{2}=n（{n+2}）$．
（Ⅱ）证明：${b_n}=\frac{4}{a_n^2-1}=\frac{4}{{4n（{n+1}）}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．