Question

13．设函数f（x）=-x³+2ax²-a²x（x∈R），其中a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求得函数的导数，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到函数的极值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，
f′（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5，
所以，曲线y=-x³+2x²-x在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0；
（Ⅱ）f（x）=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，解得$x=\frac{a}{3}$或x=a，
由于a=3，即有x=1或x=3．
当x＞3或x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-4，
函数f（x）在x=3处取得极大值f（3）=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．