Question

15．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，F₁，F₂分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线x=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a的距离为3$\sqrt{2}$，若|PF₁|+|PF₂|=8，则双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线互相垂直得到双曲线为等轴双曲线，结合双曲线的定义求出|PF₂|=4-a，利用两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，
∴双曲线为等轴双曲线，则a=b，c=$\sqrt{2}$a，
则|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=8，
得|PF₂|=4-a≥c-a，即0＜c≤4，则$\sqrt{2}$a≤4，得a≤2$\sqrt{2}$，
设P（x，y），
∵P点在该双曲线的右支上且到直线x=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a的距离为3$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a=3$\sqrt{2}$，得x=3$\sqrt{2}$-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1得y²=x²-a²=（3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-a²，
由|PF₂|=4-a得|PF₂|²=（4-a）²，
即（x-c）²+y²=（4-a）²，
即（3$\sqrt{2}$-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a-$\sqrt{2}$a）²+=（3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-a²=（4-a）²，
整理得3a²-16a+20=0得a=2或a=$\frac{10}{3}$（舍），
则双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程，利用两点间的距离公式以及双曲线的定义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．