Question

3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$a=\sqrt{21}$，3b-2c=7，A=60°．
（1）求b的值；
（2）若AD平分∠BAC交BC于点D，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理、方程组的解法即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即21=b²+c²-bc，联立3b-2c=7，
解得b=5，c=4．
（2）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•AC•ABsinA=\frac{1}{2}×5×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AB•ADsin∠BAD=\frac{1}{2}×4×AD×\frac{1}{2}=AD$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}•AC•ADsin∠CAD=\frac{1}{2}×5×AD×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}AD$，
由S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，得$5\sqrt{3}=AD+\frac{5}{4}AD$，
∴$AD=\frac{20}{9}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．