Question

5．已知函数f（x）=x²+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为l，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+2a}{x}$，
由已知f′（2）=1，解得：a=-3，
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}{x}$，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，$\sqrt{3}$）	$\sqrt{3}$	（$\sqrt{3}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，$\sqrt{3}$）；单调递增区间是（$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及切线斜率问题，是一道中档题．