已知数列{an}的前n项和为Sn.且a1+a5=17．(1)若{an}还同时满足:①{an}为等比数列,②a2a4=16,③对任意的正整数n.a2n＜a2n+2.试求数列{an}的通项公式．(2)若{an}为等差数列.且S8=56．①求该等差数列的公差d,②设数列{bn}满足bn=3n•an.则当n为何值时.bn最大?请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}还同时满足：
①{a_n}为等比数列；②a₂a₄=16；③对任意的正整数n，a_2n＜a_2n+2，试求数列{a_n}的通项公式．
（2）若{a_n}为等差数列，且S₈=56．
①求该等差数列的公差d；②设数列{b_n}满足b_n=3ⁿ•a_n，则当n为何值时，b_n最大？请说明理由．

分析（1）根据等比数列的性质可得a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，即可求出a₁，a₅的值，继而求出公比，写出通项公式即可
（2）①{a_n}为等差数列，且a₁+a₅=17，S₈=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；②确定数列{b_n}的通项，判断其单调性，即可求得b_n最大值

解答解：（1）因为{a_n}是等比数列，则a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{5}=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{{a}_{5}=1}\end{array}\right.$
从而a_n=2^n-1或a_n=（-2）^n-1或a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1或a_n=16×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
由③得，a_n=2^n-1或a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1
（2）①由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=17}\\{8{a}_{1}+28d=56}\end{array}\right.$，解得d=-1
②由①知a₁=$\frac{21}{2}$，所以an=$\frac{23}{2}$-n，则b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（$\frac{23}{2}$-n），
因为b_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）
所以b₁₁=b₁₀，且当n≤10时，数列{b_n}单调递增，当n≥11时，数列{b_n}单调递减，
故当n=10或n=11时，b_n最大．

点评本题考查等差数列的通项，考查数列的单调性，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．

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1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长，设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016
时间代号t	1	2	3	4	5
储蓄存款y（千亿元）	5	6	7	8	11

（1）求y关于t的回归方程$\widehaty=\widehatb•t+\widehata$；
（2）用所求回归方程预测该地区2017年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程$\widehaty=\widehatb•t+\widehata$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{t_i}{y_i}-n\overline t\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{t_i}^2-n\overline{t^2}}}}，\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$．

2．用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（　　）

	A．	a、b都小于2		B．	a、b至少有一个不小于2
	C．	a、b至少有两个不小于2		D．	a、b至少有一个小于2

19．是否存在实数a，使得函数y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$在闭区间[0，π]的最大值是0？若存在，求出对应的a的值；若不存在，试说明理由．

6．设函数f（x）=x²-xlnx+2，若存在区间$[{a，b}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，使f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，则k的取值范围为（1，$\frac{9+2ln2}{10}$）．

16．若函数f（x）满足f（4）=2，且对于任意正数x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．则f（x）可能为（　　）

$f（x）=\sqrt{x}$

$f（x）=\frac{x}{2}$

f（x）=log₂x

3．已知函数$f（x）=4lnx-\frac{1}{2}m{x^2}$（m＞0）．
（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（m-4）x，对于曲线y=g（x）上的两个不同的点M（x₁，g（x₁）），N（x₂，g（x₂）），记直线MN的斜率为k，若k=g'（x₀），证明：x₁+x₂＞2x₀．

20．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{a}{x}$（a∈R，a为常数），函数$g（x）={e^{1-x}}+\frac{2a-1}{2}{x^2}-1$（e为自然对数的底）．
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
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2．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，若$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1（λ，μ∈R），则|$\overrightarrow{OC}$|的最小值为（　　）

$\frac{\sqrt{5}}{2}$