题目内容
（2011•普宁市模拟）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）=
．若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．
（1）求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
| 80 | ||
|
（1）求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
分析：（1）先根据题意可得：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为
元，科技成本投入为100n，进而可求年利润为f（n）
（2）将函数整理成f(n)=1000-80(
+
)，进而可以利用基本不等式，求出最高利润．
| 80 | ||
|
（2）将函数整理成f(n)=1000-80(
| n+1 |
| 9 | ||
|
解答：解：（1）第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为
元，
科技成本投入为100n，…（2分）
所以，年利润为f(n)=(10+n)(100-
)-100n…（6分）
（2）．由（1）f(n)=(10+n)(100-
)-100n
=1000-80(
+
)≤520（万元） …（9分）
当且仅当
=
时
即n=8 时，利润最高，最高利润为520万元．…（11分）
答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元． …（12分）
| 80 | ||
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科技成本投入为100n，…（2分）
所以，年利润为f(n)=(10+n)(100-
| 80 | ||
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（2）．由（1）f(n)=(10+n)(100-
| 80 | ||
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=1000-80(
| n+1 |
| 9 | ||
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当且仅当
| n+1 |
| 9 | ||
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即n=8 时，利润最高，最高利润为520万元．…（11分）
答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元． …（12分）
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，关键是函数模型的构建．
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