Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=$\sqrt{2}$sinB，且满足tanA+tanC=$\frac{2sinB}{cosA}$．
（Ⅰ）求角C和边c的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据同角的三角函数的关系以及诱导公式和两角和的正弦公式即可求出，再根据正弦定理即可求出c的值，
（Ⅱ）根据余弦定理和基本不等式即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）tanA+tanC=$\frac{2sinB}{cosA}$可得$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$
=$\frac{sin（A+C）}{cosAcosC}$=$\frac{sinB}{cosAcosC}$=$\frac{2sinB}{cosA}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵b=$\sqrt{2}$sinB，
由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\sqrt{2}$，
∴c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴$\frac{3}{2}$=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
故△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{8}$..

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的恒等变换，属于中档题．