Question

9．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且$\sqrt{2}$a=2csinA．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=3，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，求a²+b²的值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{2}$a=2csinA，由正弦定理可得：$\sqrt{2}$sinA=2sinCsinA，sinA≠0，可得sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据△ABC是锐角三角形，可得C．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，可得a²+b²-$\sqrt{2}$ab=9，又$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{4}$，解得ab即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$a=2csinA，由正弦定理可得：$\sqrt{2}$sinA=2sinCsinA，sinA≠0，可得sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，∴a²+b²-$\sqrt{2}$ab=9，
又$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{4}$，解得ab=6．
∴a²+b²=6$\sqrt{2}$+9．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．