Question

设p：函数f（x）=x²-mx+1有两个正的零点，q：函数g（x）=x²+2（m-2）x+1没有零点．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：p：函数f（x）=x²-mx+1有两个正的零点，可得

△=m2-4＞0 x1+x2=m＞0 x1x2=1＞0

，解得m．q：函数g（x）=x²+2（m-2）x+1没有零点，可得△＜0，解得m范围．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，p与q必然一真一假．

解答： 解：p：函数f（x）=x²-mx+1有两个正的零点，∴

△=m2-4＞0 x1+x2=m＞0 x1x2=1＞0

，解得m＞2．
q：函数g（x）=x²+2（m-2）x+1没有零点，∴△＜0，即4（m-2）²-4＜0，解得1＜m＜3．
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
p与q必然一真一假．
当p真q假时，

m＞2 m≤1或m≥3

，解得m≥3．
当q真p假时，

m≤2 1＜m＜3

，解得1＜m≤2．
∴实数m的取值范围是m≥3或1＜m≤2．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、一元二次有实数根与判别式的关系，考查了推理能力，属于基础题．