Question

14．已知函数f（x）=|x-a|+4x，a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）时，恒有f（2x）≥7x+a²-3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，分类讨论求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）（2x）≥7x+a²-3可化为f（2x）-7x≥a²-3，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（I）f（x）≥2x+1，即|x-2|≥-2x+1，
即$\left\{\begin{array}{l}x-2≥-2x+1\\ x-2≥0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}2-x≥-2x+1\\ x-2＜0\end{array}\right.$，解得{x|x≥-1}．
（II）f（2x）≥7x+a²-3可化为f（2x）-7x≥a²-3，
令F（x）=f（2x）-7x，
因为$F（x）=f（2x）-7x=|{2x-a}|+x=\left\{\begin{array}{l}3x-a（x≥\frac{a}{2}）\\ a-x（x＜\frac{a}{2}）\end{array}\right.$，
由于a＞0，x∈（-2，+∞），
所以当$x=\frac{a}{2}$时，F（x）有最小值$F（\frac{a}{2}）=\frac{a}{2}$，
若使原命题成立，只需$\frac{a}{2}≥{a^2}-3$，解得a∈（0，2]．

点评 本题考查解含有绝对值的不等式，函数的最值．考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．