题目内容
9．某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为$\frac{2}{5}$lnp、$\frac{1}{10}$q万元．已知厂家对A、B两种型号电视机的投放总金额为10万元，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）．分析 先设A型号电视机的投放金额为x万元（1≤x≤9），则B型号的电视机的投放金额为（10-x）万元，并设农民得到的补贴为f（x）万元，由题意得$f（x）=\frac{2}{5}lnx+\frac{1}{10}（10-x）=\frac{2}{5}lnx-\frac{1}{10}x+1$，再利用导数求出此函数的最大值，从而得到分配方案，求出最大值．
解答 解：设A型号电视机的投放金额为x万元（1≤x≤9），
则B型号的电视机的投放金额为（10-x）万元，并设农民得到的补贴为f（x）万元，
由题意得$f（x）=\frac{2}{5}lnx+\frac{1}{10}（10-x）=\frac{2}{5}lnx-\frac{1}{10}x+1$…（4分）
$f'（x）=\frac{2}{5x}-\frac{1}{10}=\frac{4-x}{10x}$，令f'（x）=0得x=4，
当x∈（1，4）时，f'（x）＞0；当x∈（4，9），时，f'（x）＜0，---------------------（8分）
所以当x=4时，f（x）取得最大值，$f{（x）_{max}}=\frac{2}{5}ln4-0.4+1≈1.2$，---------（10分）
故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是4万元和6万元，
农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．---------------------（12分）
点评 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．其中利用导数求函数的最值是解题的关键．
练习册系列答案
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