Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*，求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列．

Answer 1

分析 a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*，可得a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，作差$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，证明为常数即可．

解答 证明：∵a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*，
∴a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列，公差为-1，首项为-2．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．