Question

2．已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-2，对任意给定的x₀∈（0，e]，方程f（x）=g（x₀）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax+（2-a）=$\frac{（2x+1）（-ax+1）}{x}$，
当a=0时，f′（x）=$\frac{2x+1}{x}$＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减．
（Ⅱ）g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-2，g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x∈（-∞，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（-2，$\frac{1}{e}$-2]，
由已知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{1}{a}＜e}\\{f（\frac{1}{a}）{＞g（x）}_{max}}\\{f（e）≤-2}\end{array}\right.$，
由f（e）=1-ae²+2e-ea≤-2，∴a≥$\frac{3+2e}{{e}^{2}+e}$，
由f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$-1＞$\frac{1}{e}$-2，
∴lna-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{e}$＜0，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$知h（x）单调递增，
而h（e）=0，∴a∈（0，e）时，lna-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{e}$＜1，
∴a∈（0，e），综合以上，$\frac{3+2e}{{e}^{2}+e}$≤a＜e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．