题目内容
某厂生产某种产品x件的总成本c（x）=1200+
x3（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
| 2 |
| 75 |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：导数的综合应用
分析：分析题目数据建立数学模型，得出总利润函数L（X）=(
)x-1200-
x3，注意定义域，然后利用导数求其最值，还原为实际问题即可．
| 500 | ||
|
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| 75 |
解答：
解：设产品单价为p，则有p2=
，将x=100，p=50代入，得k=250000，所以p=p（x）=
设总利润为L，L=L（x）=p（x）-c（x）=(
)x-(1200+
x3)（x＞0）
即L（X）=(
)x-1200-
x3，L'（X）=
-
令L'（X）=0，即
-
=0，得x=25，
因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，且是极大值点，从而是最大值点．
答：当产量定为25件时，总利润最大．
| k |
| x |
| 500 | ||
|
设总利润为L，L=L（x）=p（x）-c（x）=(
| 500 | ||
|
| 2 |
| 75 |
即L（X）=(
| 500 | ||
|
| 2 |
| 75 |
| 250 | ||
|
| 2x2 |
| 25 |
令L'（X）=0，即
| 250 | ||
|
| 2x2 |
| 25 |
因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，且是极大值点，从而是最大值点．
答：当产量定为25件时，总利润最大．
点评：本题考查利用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤，属于中档题．
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