Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，a_n+1=

pan+n-1(n为奇数) -an-2n(n为偶数)

（1）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1，试求数列{b_n}前3项的和T₃；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，试判断{c_n}是否为等比数列，并说明理由；
（3）当p=

1

2

时，问是否存在n=N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，从而T_n=-2n（n+1），由此能求出T₃．
（2）c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，从而

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，由此得到当p=

1

2

时，数列{c_n}是首项为1，公比为-

1

2

等比数列；当p≠

1

2

时，数列{c_n}不成等比数列．
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，当p=

1

2

时a_2n=c_n=（-

1

2

）^n-1，S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）=-2n²-2n+2（n≥1），由（S_2n+1-10）c_2n=1，得4n²+4n+16=4ⁿ，由此能求出仅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立．

解答： 解：（1）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
∴{b_n}成等差数列，
∴T_n=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1），
∴T₃=-24．
（2）∵数列{c_n}满足c_n=a_2n，
∴当p=

1

2

时，数列{c_n}成等比数列；当p≠

1

2

时，数列{c_n}不为等比数列．
理由如下：
∵c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
∴

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，
故当p=

1

2

时，数列{c_n}是首项为1，公比为-

1

2

等比数列；
当p≠

1

2

时，数列{c_n}不成等比数列．
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差数列
当p=

1

2

时a_2n=c_n=（-

1

2

）^n-1，
S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1
=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）
=-2n²-2n+2（n≥1），
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，∴4n²+4n+16=4ⁿ，
设f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
则g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）递增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴仅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立．

点评：本题考查的知识点是等比关系的确定，数列的求和，其中熟练掌握等差数列、等比数列的定义，能熟练的判断一个数列是否为等差（比）数列是解答本题的关键．