Question

1．已知a＞0关于x的二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=243．

Answer 1

分析 根据题意，有2ⁿ=32，可得n=5，进而可得其展开式为T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r，分析可得其常数项为第4项，即C₅³•（a）³，依题意，可得C₅³•（a）³=80，解可得a的值，再令x=1，即可得到所求值．

解答 解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2ⁿ=32，
可得n=5，
则二项式的展开式为T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r，
其常数项为第4项，即C₅³•（a）³，
根据题意，有C₅³•（a）³=80，
解可得，a=2，
再令x=1时，
则展开式的各项系数和为3⁵=243．
故答案为：243．

点评 本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式通项公式的运用，以及二项式系数和各项系数的关系，属于中档题．