Question

9．在等比数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₃=3且2S_n+3S_n+2=5S_n+1，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$3×（\frac{2}{3}）^{n-3}$．

Answer 1

分析 解当q=1时，2S_n+3S_n+2≠5S_n+1，因此q≠1．利用等比数列的求和公式代入化简即可得出．

解答 解：当q=1时，2S_n+3S_n+2=（5n+6）a₁，5S_n+1=（5n+5）a₁，
∵（5n+6）a₁≠（5n+5）a₁，
∴2S_n+3S_n+2≠5S_n+1，
因此q≠1．
∴$2×\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$+3×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}$=5×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$，化为：3q²-5q+2=0，q≠1，解得q=$\frac{2}{3}$．
∴a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=$3×（\frac{2}{3}）^{n-3}$．
故答案为：a_n=$3×（\frac{2}{3}）^{n-3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．